Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Subtraia $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.4

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Etapa 5.2.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} + 1 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$λ^{2} = - 1$

Etapa 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 7.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$λ = \pm i$

Etapa 7.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$λ = i$

Etapa 7.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$λ = - i$

Etapa 7.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$λ = i, - i$